Nombres de Pisots, matrices primitives et bêta-conjugués

Pisot numbers, primitive matrices and beta-conjugates. We show that given a Pisot number β, for any integer n large enough, there is a nonnegative primitive square matrix whose order is equal to the degree of β, and the matrix admits β for eingenvalue. Let β = a1/β + a2/β + · · ·+ an/β + · · · be the β-expansion of β. For any Pisot number β, the sequence (an)n≥1 is ultimately periodic i.e., for n ≥ n0, an+k = an, and we call Parry polynomial the polynomial Xn0+k− (a1X0 + · · ·+an0+k)− (X0− (a1X + · · ·+an0)). We also show that there is a relatively dense set of integers n such that the minimal polynomial of β is equal to its Parry polynomial. Manuscrit reçu le 20 novembre 2009, révisé le 12 décembre 2011. Mots clefs. Primitive matrices ; Pisot Numbers ; numeration ; symbolic dynamics. Classification math. 11C99, 15A18, 15A36, 15A48, 37B10. 58 Anne Bertrand-Mathis 1. Matrices primitives et entiers algébriques, nombres de Pisot et développement en base β. Une matrice carrée B dont tous les coefficients sont des nombres réels positifs (au sens large, donc éventuellement nuls) est dite positive ; une matrice positive est dite primitive s’il existe un entier k tel que Bk a tous ses coefficients strictement positifs. Perron a montré qu’une matrice primitive admet une valeur propre réelle positive strictement supérieure au module de ses autres valeurs propres ; cette valeur propre est dite valeur propre strictement dominante de la matrice. Lorsque les coefficients de B sont des entiers naturels la valeur propre dominante est un entier algébrique (puisqu’elle est racine du polynôme minimal de B) strictement supérieur au module de ses conjugués ; nous dirons alors qu’il domine strictement ses conjugués. Lind a baptisé nombres de Perron les entiers algébriques dominant strictement leurs conjugués et a démontré le théorème suivant : Théorème (Lind) [8]. Tout nombre de Perron est la valeur propre dominante d’une matrice B à coefficients dans N. De plus, cette matrice peut être prise avec des coefficients dans {0, 1}, elle est alors généralement d’ordre plus élevé. On connaît donc l’existence de la matrice B, mais pas sa taille. On peut espérer trouver dans de nombreux cas une matrice dont l’ordre est égal au degré d de β ; on est alors certain de pouvoir trouver un automate à d états dont la matrice d’incidence admet β pour valeur propre, une substitution sur d lettres dont la matrice d’abélianisation admet β pour valeur propre ou un sous-shift de Markov d’entropie ln β possédant d états. Un nombre de Pisot est un entier algébrique réel strictement supérieur à 1 dont tous les conjugués sont de module strictement inférieur à 1 ; il domine donc strictement ses conjugués. Étant donné un nombre de Pisot de degré d, toutes ses puissances sont encore des nombres de Pisot de même degré d [2]. Nous nous intéressons ici à la question suivante : soit un nombre de Pisot β de degré d ; existe-t-il une matrice primitive à coefficients dans N, d’ordre égal au degré de β, dont β est valeur propre (nécessairement dominante) ? Nous démontrerons qu’étant donné un nombre de Pisot β, pour tout entier n assez grand il existe une matrice d’ordre d positive à coefficients dans N dont βn est valeur propre (théorème 1). Etant donné un nombre réel β > 1, il existe une unique suite d’entiers naturels a = (an)n≥1 telle que 1 = ∑ n≥1 an βn avec la condition : pour tout m ≥ 1 on a ∑ n>m an βn < 1 βm [11]. Cette suite ou la série associées de somme 1 sont appelées β-développements de 1 et en multipliant l’égalité par β on obtient par définition le β-développement de β. Lorsque la suite a est Nombres de Pisot et matrices primitives 59 périodique de période k après le rang n0, β est dit nombre de Parry. Le nombre β est alors un entier algébrique, racine strictement dominante du polynôme P (X) = X0−(a1X0 + · · ·+an0+k)−(X0−(a1X0 + · · ·+an0)) qui prend alors le nom de polynôme de Parry de β (n0 et k sont ici supposés minimums). Deux cas se présentent : ou bien le degré de β est égal au degré du polynôme de Parry qui est alors le polynôme minimal de β (on a alors d = n0 +k) ; ou bien il lui est strictement inférieur et le polynôme de Parry admet d’autres racines que les conjugués de β ; ces autres racines sont dites béta-conjuguées (ou conjuguées pirates) de β. Exemples. Pour le nombre d’or β = 1+ √ 5 2 dont le polynôme minimal est X2−X−1, le β-développement de 1 est 1 = 1 β + 1 β2 et le polynôme de Parry est égal au polynôme minimal. Pour β = 3+ √ 5 2 le polynôme minimal est X2− 3X+ 1, le développement de 1 est 1 = 2 β + 1 β2 + 1 β3 + · · · , le polynôme de Parry de β est X2− 2X− 1− (X− 2) qui est égal au polynôme minimal de β. Si β est la racine supérieure à 1 de l’équation β3 = β + 1, le polynôme minimal est X3 − X − 1 ; l’égalité 1 = 1 β2 + 1 β3 est vraie mais ceci n’est pas le β-développement de 1 car la condition 1 β2 + 1 β2 < 1 β qui caractérise les β-développements n’est pas vérifiée. Le β−développement de 1 est 1 = 1 β + 1 β5 = 10001(0) ∞ = 10001, le polynôme de Parry est X5 − X4 − 1 = (X3 − X − 1)(X2 − X − 1) et les béta-conjugués sont 1±i √ 3 2 ; ils sont de module 1. Les nombres de Pisot sont des nombres de Parry [3, 4]. Nous montrerons qu’étant donné un nombre de Pisot β de degré d il existe un ensemble dense de puissances de β qui n’admettent pas de valeurs conjuguées pirates et dont le polynôme minimal est égal au polynôme de Parry (théorème 2). Nous aurons besoin, pour établir ces résultats, d’associer à toute suite ultimement périodique une matrice dite matrice compagnon de la suite.